通过傅里叶延拓与限制估计研究正特征下的受限投影

设 $d\ge3$，$\mathbb{F}_q^{\,d}$ 为阶数为 $q$ 的有限域上的 $d$ 维向量空间，其中 $q$ 为奇素数幂。设 $X_\pi$ 为过原点且与切片 $\pi\cap S^{d-1}$ 相交的直线集合，其中 $\pi=\{x_d=\lambda\}$，$S^{d-1}=\{x:\|x\|=1\}$。对于 $E\subset\mathbb{F}_q^{\,d}$ 和 $N\ge1$，我们研究例外集 $T_1(X_\pi,E,N)=\{V\in X_\pi:\ |\pi_V(E)|\le N\}$ 和 $T_2(X_\pi,E,N)=\{V\in X_\pi:\ |\pi_{V^\perp}(E)|\le N\}$，以及它们各自的自然 $N$ 范围。利用离散傅里叶分析结合锥体和球型二次曲面在有限域上的限制/延拓估计，我们获得了 $|T_1|$ 和 $|T_2|$ 的尖锐上界（至多常数因子），并对 $\lambda \in \{0, \pm 1\}$ 三种情况分别进行分析。这些界展现了完整格拉斯曼流形中所没有的算术-几何二分法：$\lambda^{2}-1$ 的二次特征与 $d$ 的奇偶性决定了例外集的大小。作为应用，当 $|E|\ge q$ 时，存在 $\pi\cap S^{d-1}$ 中比例为正的大量元素 $\mathbf{y}$，使得固定点积集 $\{\mathbf{y}\cdot \mathbf{x}\colon \mathbf{x}\in E\}$ 的基数达到 $\Omega(q)$。我们进一步研究与半径为 $0$ 和 $-1$ 的球面类似的族，并通过结合这些结果恢复了完整格拉斯曼流形上投影的已知估计，补充了陈（2018）的结果。