尖锐混合范数球面限制

设 $d\geq 2$ 为整数且 $2d/(d-1) < q \leq \infty$。本文研究 L. Vega 于 1988 年建立的混合范数 Fourier 延拓不等式 \begin{equation*} \big\|\widehat{f\sigma}\big\|_{L^q_{{\rm rad}}L^2_{{\rm ang}}(\mathbb{R}^d)} \leq {\bf C}_{d,q}\, \|f\|_{L^2(\mathbb{S}^{d-1},{\rm d}\sigma)}, \end{equation*} 的尖锐形式。令 $\mathcal{A}_d \subset (2d/(d-1), \infty]$ 为使得 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上常值函数是该不等式唯一极值函数的指数集合，我们证明：(i) $\mathcal{A}_d$ 包含偶数整数与 $\infty$；(ii) $\mathcal{A}_d$ 在扩展拓扑中是开集；(iii) $\mathcal{A}_d$ 包含无穷远邻域 $(q_0(d), \infty]$，其中 $q_0(d) \leq \left(\tfrac{1}{2} + o(1)\right) d\log d$。在低维情形我们证明 $q_0(2) \leq 6.76\,;\,q_0(3) \leq 5.45 \,;\, q_0(4) \leq 5.53 \,;\, q_0(5) \leq 6.07$。特别地，这首次打破了尖锐 Fourier 限制理论中的偶数指数壁垒。我们方法的关键在于建立 Bessel 函数某些加权范数之间的层级关系，这是特殊函数理论中一个具有独立意义的重要问题。