双曲面上 Fourier 限制性极值函数

$d$ 维双曲面 $\mathbb{H}^d \subset \mathbb{R}^{d+1}$ 上的 $L^2 \to L^p$ 伴随 Fourier 限制不等式在 $d=1$ 且 $6 \leq p < \infty$ 时成立，在 $d\geq2$ 且 $2(d+2)/d \leq p\leq 2(d+1)/(d-1)$ 时成立。Quilodr\'{a}n 最近求出了端点情形 $(d,p)\in\{(2,4),(2,6),(3,4)\}$ 下最优常数的值，并证明了在这些情形下不等式不存在极值函数。本文回答了 Quilodr\'{a}n 提出的两个问题，即： 我们求出端点情形 $(d,p) = (1,6)$（即 $p$ 为偶整数时剩余的端点）下最优常数的显式值，并证明在此情形下不存在极值函数； 我们证明了在维度 $d \in \{1,2\}$ 的所有非端点情形下极值函数的存在性。这完成了该问题在低维情形下的定性描述。