素数阶域上平面中的正交投影与关联界

设 p 为奇素数，E⊂𝔽_p^2 且 |E|=p^a，其中 0<a≤1。对方向 V（𝔽_p^2 的一维子空间），令 π^V:𝔽_p^2→𝔽_p^2/V 表示商映射。我们界定使投影 π^V(E) 较小的例外方向集的大小。更精确地，对 a/2≤s≤a，定义 $$T_s^{1,2}(E):=\{V\in G(1,\mathbb{F}_p^2):\ |\pi^V(E)|<p^s\}.$$ 我们证明 $$|T_s^{1,2}(E)|\ll \min\{\,p^{\frac52 s-a},\ p^{6s-3a},\ p^s\,\},$$ 这在 a/2≤s<2a/3 范围内改进了素数域上先前已知的最佳估计，并朝 Chen 2018 年猜想取得首次实质性进展。关键的新要素是一个新颖的点线关联界，其具有独立意义，当线集仅跨越中等数量的不同方向时给出幂次节省。在反向，我们也获得对笛卡尔积 A×B 与线族 {y=ax+b: a,b∈C} 的关联估计，其中显式依赖于加性能量 E^+(C)。我们还讨论了与和集问题及不同点积值猜想的联系。