正特征下的平分线能量与钉住距离

我们证明了有限域上钉住距离数的一个新下界：若 $A$ 是 $\mathbb{F}_q^2$ 的一个足够小的子集，则 $A$ 中存在一个元素，它确定了 $\gg |A|^{2/3}$ 个到 $A$ 中其他元素的不同距离。结合针对大子集 $A\subseteq\mathbb{F}_q^2$ 的结果，这改进了所有先前已知的有限域上不同距离的下界。事实上，我们得到了 $A$ 所确定的等腰三角形数的一个上界。为此我们使用了平分线能量的概念。结果表明后者可表示为一个点-平面关联界，因此可利用第三作者的一条定理。向该关联问题的转化依赖于 Blaschke-Gr"unwald 运动学映射——即将 $\mathbb{F}_q^2$ 的刚体运动群嵌入到射影三维空间的一个开子集。这在运动学与几何代数中早已为人所知；我们使用 Clifford 代数对任意域给出了一个证明。