四维有限域 Besicovitch 集的一个新界

设 $F$ 为一个特征大于 2 的有限域。定义 $F^4$ 中的 \emph{Besicovitch 集}为包含每个方向上一条直线的集合 $P \subseteq F^4$。\emph{Kakeya 猜想}断言 $|P| \approx |F|^4$。Wolff 的一个结果确立了 $|P| \gtrsim |F|^3$。本文将其改进为 $|P| \gtrapprox |F|^{3+\gain}$。另一方面，我们证明若放宽直线指向不同方向这一假设，则 $|F|^3$ 的界是紧的。论证中的一个新特点是引入了少量基础代数几何。