关于非线性投影例外参数的维数及离散化Elekes-Rónyai定理

我们考虑四个相关问题。(1) 获得钉扎Falconer距离问题中例外观测点集合的维数估计。(2) 在Kaufman、Bourgain和Shmerkin精神下的非线性投影定理。(3) 平面$d$-网的可平行化。(4) 关于展开多项式的Elekes-Rónyai定理。给定平面中的Borel集$A$，我们研究例外观测点的集合，对于这些点，钉扎距离$\Delta_p(A)$具有较小的维数，即接近$(\dim A)/2$。我们证明如果该集合具有正维数，则它必须具有非常特殊的结构。这一结果源于一个更一般的单尺度非线性投影定理，该定理说如果$\phi_1,\phi_2,\phi_3$是三个光滑函数，其关联的3-网具有非零Blaschke曲率，且$A$是Katz和Tao意义上的$(\delta,\alpha)_2$-集，则像$\phi_i(A)$中至少有一个必须具有远大于$|A|^{1/2}$的测度，其中$|A|$表示$A$的测度。我们对$d$个光滑函数$\phi_1,\ldots,\phi_d$证明了类似结果，其关联的$d$-网不可平行化。我们使用类似工具来刻画当应用于笛卡尔积时二元实解析函数何时是“维数展开”的：如果$P$是二元实解析函数，则$P$要么局部形如$h(a(x) + b(y))$，要么当$A$和$B$是Hausdorff维数为$\alpha$的Borel集时，$P(A,B)$的维数至少为$\alpha+c$。同样，这源于一个单尺度估计，它是Katz-Tao离散化环猜想背景下的Elekes-Rónyai定理的类似物。