关于 $k$ 点配置集 Hausdorff 维数与 Elekes-R\'onyai 类型定理

我们证明了 Elekes-R\'onyai 定理的“维度扩张”版本，适用于三变量实解析函数：若 $f$ 为三变量实解析函数，则 $f$ 要么局部形式为 $g(h(x)+k(y)+l(z))$，要么以下情况成立：若布尔集 $A\subset\mathbb{R}$ 的 Hausdorff 维数为 $\alpha\in\left(\frac{1}{2},1\right)$，则 $f(A\times A\times A)$ 的维数显著大于 $A$ 的维数，即\n\begin{align*}\n\dim_Hf(A\times A\times A)\geq \alpha+\varepsilon(\alpha),\quad \text{for some } \varepsilon(\alpha)>0,\end{align*}\n此外，若 $\alpha>\frac{2}{3}$，则 $f(A\times A\times A)$ 具有正 Lebesgue 测度。这是一个对 Koh、Pham 和 Shen（J. Funct. Anal. 286 (2024)）所建立结果的显著扩展。我们还获得了一个备选证明和对 Raz 和 Zahl（Geom. Funct. Anal. 34 (2024)）所建立的二元实解析函数的 Elekes-R\'onyai 类型定理的改进。我们从更一般的结果推导出来，表明各种 $k$ 点配置集的薄集在通过利用与其关联的 Fourier 积分算子族的 optimal $L^2$ 基于的 Sobolev 估计方面具有正 Lebesgue 测度。将 Greenleaf、Iosevich 和 Taylor（Mathematika 68 (2022), Math. Z. 306 (2024)）所发展的框架扩展到证明 Mattila-Sj"olin 类型定理，我们获得了许多配置集的 Falconer 类型结果：在要求具有非空内部的情况下，这些方法会变得空洞。特别是，当 $k=2$ 时，我们将 Eswarathasan、Iosevich 和 Taylor（Adv. Math. 228 (2011)）以及 Greenleaf、Iosevich 和 Taylor（J. Geom. Anal. 31 (2021)）所建立的度量函数在 $\mathbb{R}^d$ 中满足强非消失曲率条件下的 Falconer 类型结果，以及非对称 Mattila-Sj"olin 类型结果推广到更广泛的光滑函数类。