和与积的测度与维数

我们研究形如 $RY + Z$ 的集合的 Lebesgue 测度、Hausdorff 维数和 Fourier 维数，其中 $R \subseteq (0,\infty)$ 且 $Y, Z \subseteq \mathbb{R}^d$。我们证明了一个关于 $RY+Z$ 的 Lebesgue 测度和 Hausdorff 维数的定理；该定理是 Wolff 和 Oberlin 某些定理（其中 $Y$ 为单位球面）的推广变体，但其证明更为简单。我们还证明了一个更深的存在性定理：对每个 $\alpha \in [0,1]$ 以及每个非空紧集 $R \subseteq (0,\infty)$，存在紧集 $Y \subseteq [1,2]$ 使得 $\dim_F(Y) = \dim_H(Y) = \overline{\dim_M}(Y) = \alpha$ 且 $\dim_F(RY) \geq \min\{ 1, \dim_F(R) + \dim_F(Y)\}$。该定理验证了一个更一般猜想的弱形式，并且可用于由旧 Salem 集生成新的 Salem 集。