关于笛卡尔积集合维数的注记

给定度量空间 $E$ 与 $F$，众所周知 $$\dim_HE+\dim_HF\leq\dim_H(E\times F)\leq\dim_HE+\dim_PF,$$ $$\dim_HE+\dim_PF\leq \dim_P(E\times F)\leq\dim_PE+\dim_PF,$$ 以及 $$\underline{\dim}_BE+\overline{\dim}_BF \leq\overline{\dim}_B(E\times F) \leq\overline{\dim}_BE+\overline{\dim}_BF,$$ 其中 $\dim_HE$、$\dim_PE$、$\underline{\dim}_BE$、$\overline{\dim}_BE$ 分别表示 $E$ 的 Hausdorff 维数、packing 维数、下盒计数维数与上盒计数维数。在本注记中，我们给出紧集的例子，表明乘积 $E\times F$ 的维数可取到上述不等式所允许的任意值。证明将基于对由数位限制定义的集合之乘积维数的研究。