关于 Furstenberg 集的填充维数

我们证明，若 $\alpha\in (0,1/2]$，则对于满足存在维数为 $1$ 的直线集合与 $E$ 相交且交维 $\ge \alpha$ 的集合 $E\subset\mathbb{R}^2$，其填充维数至少为 $1/2+\alpha+c(\alpha)$（其中 $c(\alpha)>0$）。特别地，这对 $\alpha$-Furstenberg 集成立，即那些在每个方向上至少与一条直线有 Hausdorff 维数 $\ge\alpha$ 之交的集合。结合 T. Orponen 早前的结果，这为所有 $\alpha\in (0,1)$ 值下 $\alpha$-Furstenberg 集的填充维数提供了优于“平凡”估计的改进。该证明可推广到更一般的直线族，并表明若一个 $\alpha$-Furstenberg 集在某种尺度上类似于维数接近 $1/2+\alpha$ 的集合，则此类尺度（若存在）是相当稀疏的。