关于圆型 Furstenberg 集的 Hausdorff 维数

对于 $0 \leq s \leq 1$ 和 $0 \leq t \leq 3$，若存在一个 Hausdorff 维数 $\dim_{\mathrm{H}} \mathcal{S} \geq t$ 的圆族 $\mathcal{S}$，使得 $$\dim_{\mathrm{H}} (F \cap S) \geq s, \qquad S \in \mathcal{S},$$ 则称集合 $F \subset \mathbb{R}^{2}$ 为圆型 $(s,t)$-Furstenberg 集。我们证明：若 $0 \leq t \leq s \leq 1$，则每个圆型 $(s,t)$-Furstenberg 集 $F \subset \mathbb{R}^{2}$ 的 Hausdorff 维数满足 $\dim_{\mathrm{H}} F \geq s + t$。$s = 1$ 的情形可由 Wolff 关于圆型 Kakeya 集的早前工作得出。