关于径向投影的维数与光滑性

本文包含关于欧氏空间中集合与测度的径向投影的维数与光滑性的两个结果。为介绍第一个结果，假设 $E,K \subset \mathbb{R}^{2}$ 是非空 Borel 集且 $\dim_{\mathrm{H}} K > 0$。$K$ 到 $E$ 中某点的径向投影是否具有正维数？未必：$E$ 可以是零维的，或者 $E$ 与 $K$ 可共线。我证明这些是唯一障碍：若 $\dim_{\mathrm{H}} E > 0$ 且 $E$ 不位于一条直线上，则存在点 $x \in E$ 使得径向投影 $\pi_{x}(K)$ 的 Hausdorff 维数至少为 $(\dim_{\mathrm{H}} K)/2$。以 $E = K$ 应用该结果得到如下推论：若 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 是不位于一条直线上的 Borel 集，则 $K$ 所张成的方向集的 Hausdorff 维数至少为 $(\dim_{\mathrm{H}} K)/2$。对于第二个结果，令 $d \geq 2$ 且 $d - 1 < s < d$。设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^{d}$ 中具有有限 $s$-能量的紧支撑 Radon 测度。我证明对于 $\mathbb{R}^{d} \setminus \operatorname{spt} \mu$ 中每个中心，其径向投影关于 $\mathcal{H}^{d - 1}$ 绝对连续，例外集的维数至多为 $2(d - 1) - s$。事实上，对于上述例外集之外的 $x$，证明表明对某个 $p > 1$ 有 $\pi_{x\sharp}\mu \in L^{p}(S^{d - 1})$。例外集的维数界是尖锐的。