关于径向投影的例外集

我们证明了平面上径向投影的两个新的例外集估计。若 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 是满足 $\dim_{\mathrm{H}} K > 1$ 的 Borel 集,则 $$\dim_{\mathrm{H}} \{x \in \mathbb{R}^{2} \, \setminus \, K : \dim_{\mathrm{H}} \pi_{x}(K) \leq \sigma\} \leq \max\{1 + \sigma - \dim_{\mathrm{H}} K,0\}, \qquad \sigma \in [0,1).$$ 若 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 是满足 $\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$ 的 Borel 集,则 $$\dim_{\mathrm{H}} \{x \in \mathbb{R}^{2} \, \setminus \, K : \dim_{\mathrm{H}} \pi_{x}(K) < \dim_{\mathrm{H}} K\} \leq 1.$$ 上述两个结果的有限域对应情形最近由 Lund、Thang 和 Huong Thu 证明。我们的结果解决了 Lund-Thang-Huong Thu 以及 Liu 猜想的平面情形。