关于径向投影的绝对连续性

设 $d \geq 2$ 且 $d - 1 < s < d$。令 $\mu$ 为 $\mathbb{R}^{d}$ 中具有有限 $s$-能量的紧支撑拉东测度。我证明对于每一个中心 $x \in \mathbb{R}^{d} \setminus \operatorname{spt} \mu$，在维数至多为 $2(d - 1) - s$ 的例外集之外，$\mu$ 的径向投影 $\pi_{x\sharp}\mu$ 关于 $\mathcal{H}^{d - 1}$ 是绝对连续的。这是尖锐的。事实上，对于上述例外集之外的 $x$，$\pi_{x\sharp}\mu \in L^{p}(S^{d - 1})$ 对某个 $p > 1$ 成立。