$\Omega$-对称测度及相关奇异积分

设$\mathbb{S} \subset \mathbb{C}$为平面上的圆，$\Omega: \mathbb{S} \to \mathbb{S}$为奇的双Lipschitz映射，常数为$1+\delta_\Omega$，其中$\delta_\Omega>0$很小。假设$\Omega$二次连续可微。受Mattila和Preiss在[MP95]中提出的问题启发，我们证明：如果Radon测度$\mu$几乎处处具有正的下密度和有限的上密度，并且极限$$\lim_{\epsilon \downarrow 0} \int_{\mathbb{C} \setminus B(x,\epsilon)} \frac{\Omega\left((x-y)/|x-y|\right)}{|x-y|} \, d\mu(y)$$ $\mu$-几乎处处存在，则$\mu$是1-可求长的。为此，我们首先证明：如果一个Ahlfors-David 1-正则测度$\mu$关于$\Omega$对称，即对于所有$x \in \operatorname{spt}(\mu)$和$r>0$，有$$\int_{B(x,r)} |x-y|\Omega\left(\frac{x-y}{|x-y|}\right) \, d\mu(y) = 0,$$则$\mu$是平坦的，换句话说，存在常数$c>0$和直线$L$使得$\mu= c \mathcal{H}^{1}|_{L}$。