关于径向投影的 Hausdorff 维数

对于任意 $x\in\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$，记 $\pi^x: \mathbb{R}^d\backslash\{x\}\rightarrow S^{d-1}$ 为径向投影 $$\pi^x(y)=\frac{y-x}{|y-x|}.$$ 给定 Borel 集 $E\subset{\Bbb R}^d$, $\dim_{\mathcal{H}} E\leq d-1$，在本文中我们研究对于多少个 $x\in \mathbb{R}^d$，径向投影 $\pi^x$ 保持 $E$ 的 Hausdorff 维数，即是否 $\dim_{\mathcal{H}}\pi^x(E)=\dim_{\mathcal{H}} E$。我们开发了一个通用框架，将任意 Borel 集 $F\subset\mathbb{R}^d$ 的 $\pi^x(E)$, $x\in F$ 和 $\pi^y(F)$, $y\in E$ 联系起来。特别地，对于某个 $x\in F$ 是否成立 $\dim_{\mathcal{H}}\pi^x(E)=\dim_{\mathcal{H}}E$，可以归结为 $F$ 是否从某个 $y\in E$ 可见（即 $\mathcal{H}^{d-1}(\pi^y(F))>0$）。这使我们能够应用 Orponen 关于可见性的估计，得到 $$\dim_{\mathcal{H}}\left\{x\in\mathbb{R}^d: \dim_{\mathcal{H}}\pi^x(E)<\dim_{\mathcal{H}}E\right\}\leq 2(d-1)-\dim_{\mathcal{H}}E,$$ 对于任意 Borel 集 $E\subset{\Bbb R}^d$, $\dim_{\mathcal{H}} E\in(d-2, d-1]$。这在 $\dim_{\mathcal{H}} E\in(d-\frac{3}{2}, d-1]$ 时改进了 Peres-Schlag 界，并在端点 $\dim_{\mathcal{H}} E=d-1$ 处是最佳的。