笛卡尔积投影的 Marstrand 定理推广

我们证明了关于集合笛卡尔积投影的 Marstrand 定理的如下变体：设 $K_1,...,K_n$ 分别为 $\mathbb R^{m_1},...,\mathbb R^{m_n}$ 的 Borel 子集，$\pi:\mathbb R^{m_1}\times...\times\mathbb R^{m_n}\to\mathbb R^k$ 为满射线性映射。我们定义 $$\mathfrak{m}:=\min\{\sum_{i\in I}\dim_H(K_i) + \dim\pi(\bigoplus_{i\in I^c}\mathbb R^{m_i}), I\subset\{1,...,n\}, I\ne\emptyset\}.$$ 考虑具有自然测度的空间 $\Lambda_m=\{(t,O), t\in\mathbb R, O\in SO(m)\}$，并设 $\Lambda=\Lambda_{m_1}\times...\times\Lambda_{m_n}$。对于每个 $\lambda=(t_1,O_1,...,t_n,O_n)\in\Lambda$ 和每个 $x=(x^1,,x^n)\in\mathbb R^{m_1}\times...\times\mathbb R^{m_n}$，我们定义 $\pi_\lambda(x)=\pi(t_1O_1x^1,...,t_nO_nx^n)$。于是我们有 $(i)$ 若 $\mathfrak{m}>k$，则对几乎所有的 $\lambda\in\Lambda$，$\pi_\lambda(K_1\times...\times K_n)$ 具有正的 $k$ 维 Lebesgue 测度。$(ii)$ 若 $\mathfrak{m}\leq k$ 且 $\dim_H(K_1\times...\times K_n)=\dim_H(K_1)+...+\dim_H(K_n)$，则对几乎所有的 $\lambda\in\Lambda$，$\dim_H(\pi_\lambda(K_1\times...\times K_n))=\mathfrak{m}$。