Lutz 与 Stull 两定理的组合证明

近期，Lutz 与 Stull 使用算法信息论的方法证明了两个新的 Marstrand 型投影定理，涉及 Euclidean 空间的子集，这些子集不被假定为 Borel 集，甚至不被假定为解析集。其中一定理陈述：若 $K \subset \mathbb{R}^{n}$ 是任意具有相等 Hausdorff 维数与填充维数的集合，则对几乎所有 $e \in S^{n - 1}$，有 $$\dim_{\mathrm{H}} \pi_{e}(K) = \min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$$。此处 $\pi_{e}$ 表示到 $\mathrm{span}(e)$ 的正交投影。本文的主要目的在于给出不引用信息论概念的 Lutz 与 Stull 投影定理的证明。相反，它们将依赖于组合-几何论证，例如 Kaufman “位势论”方法的离散化版本、鸽巢原理以及 Katz 与 Tao 的一个引理。次要目的在于略微推广 Lutz 与 Stull 的定理：本文的版本适用于 $\mathbb{R}^{n}$ 中到 $m$-平面的正交投影，对所有 $0 < m < n$。