扩展点集原理的适用范围

J. Lutz 和 N. Lutz（2018）的点集原理近来使得计算理论可用于回答欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中分形几何的开放问题。这些是经典问题，意味着它们的陈述不涉及计算或相关的逻辑方面。在本文中，我们将点集原理的适用范围从欧几里得空间扩展到任意可分子度量空间 $X$。我们首先将两种分形维数——为单个点 $x\in X$ 赋予维数 $\dim(x)$ 和 $\textrm{Dim}(x)$ 的古典豪斯多夫维数和填充维数的可计算性理论版本——扩展到任意可分子度量空间和任意规范族。我们的前两个主要结果随后将点集原理扩展到任意可分子度量空间和一大类规范族。我们通过使用扩展的点集原理来证明关于超空间中经典分形维数的新定理，以展示其威力。（作为一个具体的计算例子，用于在平面中构造自相似分形 $E$ 的阶段 $E_0, E_1, E_2, \ldots$ 是平面超空间的元素，并且它们在超空间中收敛到 $E$。）我们的第三个主要结果通过扩展的点集原理证明，其指出在各种各样的规范族下，经典填充维数与经典上闵可夫斯基维数在所有紧集超空间上一致。我们利用该定理对所有解析集，即 $\mathbf{\Sigma}^1_1$ 集 $E$，给出其超空间填充维数关于 $E$ 自身填充维数的紧界。