自共形集的分形曲率和闵可夫斯基含量

对于自相似分形，闵可夫斯基含量和分形曲率已被引入作为其平行集（即分形的均匀薄涂层）几何特征的合适极限。对于一些自共形集，已知存在表面积和闵可夫斯基含量。共形迭代函数系统比相似性更灵活。这项工作将此类结果统一并推广到R^d中的一般自共形集。我们证明了平行集的重新缩放体积、表面积和曲率在极限的切萨罗平均意义下收敛。分形Lipschitz-Killing曲率方向测度将这些极限定位到由分形中的基点及其任何法线方向组成的对上。存在一个积分公式。我们只假设一阶几何的流行开集条件，并去除了许多几何假设。对于曲率，如果环境维数超过3，我们还假设到分形的欧几里得距离函数的正则性，以及一个一致可积性条件来限制“重叠集”上的曲率。一个有限逆命题表明可积性条件是尖锐的。我们讨论了更简单的充分条件。主要工具来自遍历理论。一个独立的兴趣是乘法遍历定理：共形迭代函数系统的迭代与其线性化的偏差（即扭曲）收敛。