无限共形图定向系统的闵可夫斯基可测性及其在阿波罗尼奥斯填充中的应用

我们给出了源于无限共形图定向系统的极限集的闵可夫斯基内容存在的条件。作为一个应用，我们获得了阿波罗尼奥斯垫圈的闵可夫斯基可测性，提供了闵可夫斯基内容的显式公式，并证明了其对初始圆的解析依赖性。此外，我们能够将阿波罗尼奥斯垫圈的分形欧拉示性数以及闵可夫斯基内容与此前由 Kontorovich 和 Oh 所研究的圆计数函数的渐近行为联系起来。这些结果导致了对于阿波罗尼奥斯常数的新解释和另一个公式。我们估计了阿波罗尼奥斯常数的第一个下界，即 $0{.}055$，部分回答了 Oh 于 2013 年提出的一个开放问题。在由例如肖特基型克莱因群生成的不相交球集合的高维情形中，我们证明了所有分形曲率测度均存在且彼此为常数倍。进一步，与高斯映射和黎曼 $\zeta$ 函数相关的数论应用说明了我们的结果。