一维自共形集的分形曲率测度与Minkowski容度

我们证明，满足开集条件的一维共形迭代函数系统的不变集的分形曲率测度存在，当且仅当相关的几何势函数是非格点的。此外，在非格点情形下，我们得到Minkowski容度存在，并证明分形曲率测度是$\delta$-共形测度的常数倍，其中$\delta$表示不变集的Minkowski维数。对于第一个分形曲率测度，该常数因子与不变集的Minkowski容度一致。在格点情形下，我们给出了不变集的Minkowski容度存在的充分条件，这与自相似格点分形的Minkowski容度从不存在的性质形成对比。然而，每个满足开集条件的自相似集都存在一个Minkowski可测的$\mathcal{C}^{1+\alpha}$微分同胚像。无论是在格点还是非格点情形，分形曲率测度的平均版本都始终存在。