关于自相似随机齐次迭代函数系统的 Minkowski 容度

紧集的 Minkowski 容度是其几何标度的一个精细度量。对于 Lebesgue 零集，它度量该集合的 epsilon 邻域的 Lebesgue 测度的衰减。众所周知，满足合理分离条件且收缩比不可公度为对数（non-log comensurable）的自相似集具有定义良好的 Minkowski 容度。当去掉收缩条件时，更一般的平均 Minkowski 容度概念仍然存在。对于随机递归自相似集，Minkowski 容度也几乎必然存在，而对于随机齐次自相似集，Zähle 最近证明了 Minkowski 容度在期望中存在。在本短文中，我们证明了随机齐次自相似集的上 Minkowski 容度以及上平均 Minkowski 容度几乎必然为无穷，回答了 Zähle 提出的一个猜想。此外，我们证明了在随机齐次等收缩自相似情形下，下 Minkowski 容度为零而下平均 Minkowski 容度亦为无穷。这些结果与随机递归模型或随机齐次吸引子的平均行为形成鲜明对比。