平面紧凸集与概率论

$\mathbb{R}^2$ 中的 Gauss-Minkowski 对应表明，在 $[0,2\pi]$ 上满足 $\int_0^{2\pi} e^{ix}d\mu(x)=0$ 的概率测度 $\mu$ 与周长为 1 的平面紧凸集 (CCS) 之间存在同胚映射。在本文中，我们给出了将 CCS 的边界与其概率测度相关联的显式公式。作为推论，我们证明了 CCS 上的某些自然运算——例如 Minkowski 和——在概率测度运算中有自然的对应，反之，测度的卷积可转化为 CCS 卷积的新概念。此外，我们证明了与 $n$ 个随机变量样本（满足 $\int_0^{2\pi} e^{ix}d\mu(x)=0$）相关联的分段线性曲线以 $\sqrt{n}$ 的速度收敛至与 $\mu$ 相关联的 CCS，该结果与统计学中经验过程的收敛高度相似。最后，我们利用该对应关系提出了光滑随机 CCS 的模型与模拟。