二维光滑随机场统计各向同性的几何意义

我们重新审视在二维光滑随机场越界集中显现的统计各向同性的几何意义。以轮廓闵可夫斯基张量$\W_1$为基本工具，我们首先考察单一结构的几何性质。对于二维中的简单闭曲线，我们证明若曲线具有$m$重对称性且$m\ge 3$，则$\W_1$正比于单位矩阵。进而我们阐明$\W_1$如何将任意形状的简单闭曲线映射为一个在其质心平移下唯一的椭圆。我们还对利用$\W_1$定义的形状参数$\alpha$和$\beta$与利用两个标量闵可夫斯基泛函——面积与轮廓长度——定义的纤维性参数进行了比较。我们表明它们包含互补的形状信息，其中$\W_1$额外包含结构取向信息。接着，我们将方法应用于随机场越界集的边界，并考察统计各向同性对越界集几何意味着什么。聚焦于高斯各向同性场，并采用半数值方法，我们量化了场的有限采样对越界集几何的影响。在此过程中，我们得到了考虑有限采样效应的$\alpha$的解析表达式。最后我们推导了高斯各向异性随机场$\W_1$系综期望的解析表达式。我们的结果提供了对利用宇宙学数据设计统计各向同性检验有用的见解。