关于一些 Lebesgue 测度为零的线性集的填充函数

我们利用 Minkowski 可测性的刻画来研究实线上截集的最佳填充渐近行为，其 Minkowski 维数 d∈(0,1)。我们的主要结果是证明 Minkowski 可测性是这些集的单调重排上存在最佳填充渐近行为的充分条件。对于每个这样的集，主要结果提供了一个仅依赖于 Minkowski 维数 d 的显式比例常数 p_d，将其填充极限与 Minkowski 内容联系起来。我们随后利用 Digamma 函数研究当 d→1⁻ 时 p_d 的极限值。为了说明尖锐性，我们利用更新理论证明 (1/2,1/3) Cantor 集的填充常数小于其 Minkowski 内容与 p_d 的乘积。我们还通过证明 1/3 Cantor 集的互补区间的单调重排具有 Minkowski 维数 d=log2/log3∈(0,1)、不可 Minkowski 测且不具有收敛的一阶填充渐近行为，来说明主定理中可测性假设的必要性。上述 Minkowski 可测性的刻画进一步激发了对无限多重子集和问题的渐近研究。