球填装最优密度的新猜想下界

高维球填装引起数学家和物理学家的兴趣，并在通信理论中有直接应用。值得注意的是，在$d$维欧几里得空间$\Re^d$中，关于最大填装密度的百年前由Minkowski给出的下界，无人能给出指数级的改进。该下界在高维下的渐近行为由$2^{-d}$控制。利用我们早前引入的优化过程\cite{To02c}以及一个关于$\Re^d$中无序球填装存在的猜想，我们得到了一个临时的密度下界，其渐近行为由$2^{-0.7786... d}$控制，从而提供了对Minkowski下界假定的指数级改进。该猜想表述为：一个硬核非负 tempered 分布是$\Re^d$中平移不变无序球填装的配对相关函数（当且仅当维数$d$渐近大时），当且仅当自协方差函数的傅里叶变换非负。该猜想得到两个显式解析刻画的无序填装、低维数值模拟、仅在极低维相关的已知必要条件，以及我们能够恢复已知严格下界形式这些事实的支持。我们方法的一个副产品是关于平均接触数的渐近下界，其行为由$2^{0.2213... d}$控制，可与已知个体接触数最佳渐近下界$2^{0.2075... d}$比较。有趣的是，我们的优化过程恰是Cohn和Elkies\cite{Co03}为获得密度上界而设计的一个原始线性规划的对偶，因而对线性规划界有意义。