复维数、可测性与格/非格二分的综述

由Lapidus和van Frankenhuijsen发展的分形弦复维数理论已被证明是研究实直线分形子集闵可夫斯基可测性的有力工具。在非常一般的设定下，此类集合的闵可夫斯基可测性由相应复维数的结构刻画。此外，该工具在 $\mathbb{R}$ 的自相似分形子集情形下尤其有效，已证明它们当且仅当为非格时才是闵可夫斯基可测的。本文综述了Lapidus和van Frankenhuijsen的相关结果，并将复维数理论初步推广到欧几里得空间的子集，重点放在满足各种分离条件的自相似集。该推广在盒计数可测性（闵可夫斯基可测性的类似概念）的背景下发展，并表明在特定温和条件下可由复维数刻画。