自相似平铺的管公式与复维数

我们利用第二作者在《通过迭代函数系统的标准自仿射平铺》中构造的自相似平铺，来定义欧氏空间中自相似集几何的生成函数。该管状 zeta 函数编码了与分形集补集及相应映射系统相关的缩放与曲率性质。这使得人们能够将自相似平铺的复维数作为管状 zeta 函数的极点获得，从而在 $\mathbb{R}^d$ 中发展出自相似平铺的管公式。所得的关于 $\epsilon$ 的幂级数是 Steiner 关于凸体 $K \subset \mathbb{R}^d$ 的经典管公式的分形推广。我们的求和具有与平铺曲率相关的系数，并如同 Steiner 公式那样包含对每个整数 $i=0,1,...,d-1$ 的项。然而，我们的公式还包含对每个复维数的项。这为“复维数”这一术语提供了进一步的依据。它也将分形弦理论的若干方面推广到更高维，并阐明了第一作者与 Machiel van Frankenhuijsen 在《分形几何与复维数》中得到的分形弦管公式的新见解。