紧集与相对分形鼓的分形管公式：振荡、复维数与分形性

我们在任意维欧几里得空间中为一大类相对分形鼓建立了点态和分布意义下的分形管公式。相对分形鼓（简称RFD）是欧几里得空间子集的有序对 $(A,\Omega)$（在某些温和假设下），它推广了（紧）子集和分形串的概念。对于RFD $(A,\Omega)$ 的分形管公式，我们指的是 $\Omega$ 与 $A$ 的 $t$-邻域交集的体积的显式表达式，表示为某个适当亚纯函数（此处为分形zeta函数）在RFD $(A,\Omega)$ 的复维数上的留数之和。RFD的复维数定义为其亚纯延拓的分形zeta函数（即距离或管zeta函数）的极点，这推广了著名的用于分形串的几何zeta函数。这些分形管公式以重要方式将先前由第一作者与van Frankenhuijsen针对分形串、以及后来由第一作者、Pearse和Winter针对分形喷雾所得到的相应公式推广到更高维。它们通过几个有趣的例子加以说明。这些例子包括分形串、Sierpiński衬垫和3维地毯、分形巢和几何啁啾，以及自相似分形喷雾。我们还提出了分形性的新定义：一个有界集（或RFD）若拥有至少一个非实复维数或其分形zeta函数具有自然边界，则被视为分形。该定义将分形串背景下引入的先前定义扩展到RFD和 $\mathbb{R}^N$ 的任意有界子集，并通过Cantor图（或魔鬼阶梯）RFD加以说明，其被证明是“亚临界分形”的。