相对分形鼓的 Zeta 函数与复维度：理论、实例与应用

2009年，第一作者引入了称为“距离 zeta 函数”的一类新 zeta 函数，与任意维欧几里得空间中任意紧致分形子集相关联。它代表了“有界分形串的几何 zeta 函数”理论的自然但非平凡推广。在本专著中，我们引入“相对分形鼓”(RFDs)类，它作为特例包含了有界分形串类和欧几里得空间紧致分形子集类。此外，RFDs 的关联（相对）距离 zeta 函数（在适当意义上）推广了上述分形 zeta 函数类。此概念非常一般且灵活，使我们能够从统一视角审视先前研究的分形 zeta 函数理论的几乎所有方面，并远超先前理论。任何相对分形鼓的（绝对）收敛横坐标等于该 RFD 的相对盒维数。我们特别关注构造 RFDs 距离 zeta 函数的亚纯扩展问题，以及构造超越 $\infty$-拟周期 RFDs（即粗略而言，具有无穷多拟周期且所有拟周期代数独立的 RFDs）的问题。我们还描述了一类 RFDs（特别是新的一类有界集），称为{\em 极大超分形}，使得（绝对）收敛临界线仅由关联相对距离 zeta 函数的不可去奇点组成。最后，我们还描述了一类 Minkowski 可测 RFDs，其拥有任意重数 $m\ge1$ 的无限复维度序列，甚至在临界线上拥有无限本质奇点序列。