分形zeta函数的本质奇点

我们研究有界分形串 $\mathcal L$ 所关联的几何zeta函数 $\zeta_{\mathcal L}$ 的本质奇点。对于任意三个满足 $D_{\infty}<D_1\le D$ 的 prescribed 实数 $D_{\infty}$、$D_1$ 与 $D\in[0,1]$,我们构造一个有界分形串 $\mathcal L$,使得 $D_{\rm par}(\zeta_{\mathcal L})=D_{\infty}$、$D_{\rm mer}(\zeta_{\mathcal L})=D_1$ 且 $D(\zeta_{\mathcal L})=D$。此处,$D(\zeta_{\mathcal L})$ 为 $\zeta_{\mathcal L}$ 的绝对收敛横坐标,$D_{\rm mer}(\zeta_{\mathcal L})$ 为 $\zeta_{\mathcal L}$ 的亚纯延拓横坐标,而 $D_{\rm par}(\zeta_{\mathcal L})$ 是所有满足 $\zeta_{\mathcal L}$ 在开右半平面 $\{{\rm Re}\, s>\alpha\}$ 内全纯(该半平面内除可能的孤立奇点外)的正实数 $\alpha$ 的下确界。将 $\mathcal L$ 定义为一列合适的广义Cantor串的不交并,我们证明:包含在开右半平面 $\{{\rm Re}\, s>D_{\infty}\}$ 内的 $\zeta_{\mathcal L}$ 的本质奇点集 $S_{\infty}$ 的聚点集,与竖直线 $\{{\rm Re}\, s=D_{\infty}\}$ 重合。我们将此构造推广到 $\mathbb{R}^N$ 中紧集 $A$ 的距离zeta函数 $\zeta_A$ 的情形,其中 $N$ 为任意正整数。