分形 Zeta 函数与相对分形鼓的复维数
摘要
‘分形弦的 zeta 函数’理论由第一作者于 1990 年代初发起，并在近二十年的密集研究中与其合作者共同开发，成果见于众多文章和几部专著。2009 年，同一位作者引入了一类新的 zeta 函数，称为‘距离 zeta 函数’，自此使我们能够将现有的分形弦和喷雾的 zeta 函数理论扩展到任意维欧几里得空间中的任意有界（分形）集。研究距离 zeta 函数的一个自然且密切相关的工具是‘管 zeta 函数’类，其利用分形集的管函数定义。这三类 zeta 函数统称为‘分形 zeta 函数’，与 Minkowski 容度和上盒维数展现出深刻联系，更一般地，也与分形集的复维数相关。进一步的扩展包括相对分形鼓的 zeta 函数，其盒维数可取负值，包括负无穷大。我们还综述了关于分形鼓谱 zeta 函数亚纯延拓存在性的一些结果，这些结果本质上基于第一作者早期关于分形鼓谱（或特征值）渐近性的结果。由此可知，相关的谱 zeta 函数具有（非平凡的）亚纯延拓，我们利用关于分形 zeta 函数的一些结果展示了一个新事实，即所得到的相应亚纯收敛横坐标的上界是最优的。最后，我们通过提出该领域的几个开放问题和未来研究方向来结束这篇综述文章。
引用
@article{arxiv.1407.8094,
title = {Fractal Zeta Functions and Complex Dimensions of Relative Fractal Drums},
author = {Michel L. Lapidus and Goran Radunović and Darko Žubrinić},
journal= {arXiv preprint arXiv:1407.8094},
year = {2015}
}
备注
60 pages. Added references. Corrected typos. Expanded Thm. 2.9 to the special case when D=N, see also Rem. 2.10. Added Rem. 2.6, 3.2, 3.9, 5.17 and Rem. 8.9 corresponding to Prob. 8.8. Slightly updated Defs. 5.1, 5.20 and expanded Exercise 5.22. The paper is to appear in the Festschrift volume of the Journal of Fixed Point Theory and Applications in honor of Haim Brezis' 70th birthday