分形复维数、黎曼猜想与谱算子的可逆性

第二作者与 H. Maier 在 [LaMa2] 中通过分形弦的逆谱问题，获得了黎曼猜想的谱重述。该问题关联到“能否听到分形鼓的形状？”这一疑问，并在 [LaMa2] 中被证明：对于维数 $c\in(0,1)-\{1/2\}$ 的分形弦，该问题有肯定解当且仅当黎曼猜想成立。随后，M. L. Lapidus 和 M. van Frankenhuijsen 在其复分形维数理论 [La-vF2, La-vF3] 中启发式地引入了谱算子，将其定义为将分形弦的几何映射为其谱的算子。本文重点介绍作者在 [HerLa1] 中关于谱算子可逆性的严格结果。我们证明，对于任意 $c\geq0$，谱算子 $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}_{c}$（现精确定义为作用在 Hilbert 空间 $\mathbb{H}_{c}$ 上的无界正规算子）是“拟可逆的”（即其截断是可逆的），当且仅当 Riemann zeta 函数 $\zeta=\zeta(s)$ 在直线 $Re(s)=c$ 上没有零点。由此可知，相关的逆谱问题对于所有可能的维数 $c\in (0,1)$（除 $c=1/2$ 的中分形情形外）有肯定解，当且仅当黎曼猜想成立。