通过分形弦上的谱算子研究黎曼零点与相变
数学物理
2015-06-04 v2 泛函分析
math.MP
摘要
谱算子由M. L. Lapidus和M. van Frankenhuijsen [La-vF3]引入，用于重新解释M. L. Lapidus和H. Maier [LaMa2]关于逆谱问题和黎曼假设的早期工作。本质上，它是一个将分形弦的几何映射到其谱的映射。在这篇综述论文中，我们介绍了作者在[HerLa1]中给出的严格泛函分析框架，并在此框架内研究谱算子。此外，我们还给出了谱算子（在临界带中）可逆的充要条件，从而得到了黎曼假设的一个新的谱和算子理论重述。具体来说，我们证明谱算子可逆（等价地，零不属于其谱）当且仅当黎曼zeta函数ζ(s)在垂直线Re(s)=c上没有零点。因此，在中分形情形c=1/2时它不可逆，而在其他所有地方（即所有c∈(0,1)且c≠1/2）它可逆当且仅当黎曼假设成立。我们还证明了在临界分形维数c=1/2和c=1处，谱算子存在四种类型的（数学）相变，涉及谱的形状、有界性、可逆性以及拟可逆性。
引用
@article{arxiv.1203.4828,
title = {Riemann Zeroes and Phase Transitions via the Spectral Operator on Fractal Strings},
author = {Hafedh Herichi and Michel L. Lapidus},
journal= {arXiv preprint arXiv:1203.4828},
year = {2015}
}