某些函数零点的谱解释

我们证明某些亚纯函数的所有零点都在临界线 $\text{Re}(s)=1/2$ 上，并且是简单的（除了可能在 $s=1/2$ 时）。我们通过将这些零点与一个无界自伴算子的离散谱联系起来证明这一点。具体地，我们证明对于在 $\text{Re}(s)>1/2$ 无零点且在 $\text{Re}(s)<1/2$ 无极点的亚纯函数 $h(s)$，在 $\R$ 上取实值，满足 $\frac{h(1-s)}{h(s)}\ll |s|^{1-\epsilon}$ 在 $\text{Re}(s)>1/2$ 以及 $\frac{h(1-s)}{h(s)}\notin L^2(1/2+i\R)$，则 $h(s)\pm h(1-s)$ 的唯一零点在临界线上。这类函数 $h$ 的一个实例是 $h(s)=\xi(2s)$，即完备 zeta 函数。我们使用由 Lax-Phillips 和 Colin de Verdière 的结果所启发的谱理论。这简化了 W. Müller、J. Lagarias、M. Suzuki、H. Ki、O. Velásquez Castañón、D. Hejhal、L. de Branges 和 P.R. Taylor 的想法。