取值有限个字符的 Helson zeta 函数

我们证明 Helson zeta 函数 $\zeta_\chi (s)= \sum_1^{\infty}\chi(n)n^{-s}$ 的解析延拓在带形区域 $21/40 < \Re s < 1$ 中(无条件地)可具有本质上任意的极点与零点,并且在取值为三次单位根的函数的黎曼假设下,在整个临界带 $1/2 < \Re s <1$ 中亦可如此。若这些集合关于实轴对称,则同样可由取值为 $\pm 1$ 的 $\chi$ 实现。