Riemann $\Xi$-函数在临界线外的辐角

我们研究了$\xi(s)$的实部和虚部在垂直线$\Re s = 1/2+\lambda$（其中$\lambda \neq 0$）上零点的行为。这可以重新表述为研究整函数族$A(s) = {1/2} (\xi(s+\lambda) + \xi(s - \lambda))$和$B(s) = \frac{1}{2i} (\xi(s+\lambda) - \xi(s - \lambda))$的零点。我们将证明文献\cite{Lag}中结果的一些无条件类似物，具体而言，这些函数零点的归一化间距收敛到一个由长度为1的等间距组成的极限分布，这与$\lambda = 0$时相同零点预期的GUE分布形成对比。我们还将证明，除了一个小的例外集外，$\Re \xi(s)$和$\Im \xi(s)$的零点在$\Re s = 1/2+\lambda$上交错。这些结果将依赖于证明在远离临界线时，$\arg \xi(s)$具有良好的性质。