迈向量子化数论：谱算子与黎曼猜想的非对称判据

本文是一篇研究综述文章，包含对早期工作的 survey（见\S2--\S4），同时也包含一个主要的新结果（见\S5），我们首先对此进行描述。给定 $c \geq 0$，谱算子 $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}_c$ 可以直观地理解为将几何映射到维度不超过 $c$ 的分形弦谱的算子。严格来说，它恰好等同于黎曼 zeta 函数 $\zeta = \zeta(s)$ 的适当量子化：$\mathfrak{a} = \zeta (\partial)$，其中 $\partial = \partial_c$ 是作用在加权 Hilbert 空间 $L^2 (\mathbb{R}, e^{-2ct} dt)$ 上的实无穷小移位。在本文中，我们建立了黎曼猜想的一个新的非对称判据，该判据用谱算子对于所有维度参数值 $c \in (0, 1/2)$（即临界区间 $(0,1)$ 左半部分的所有 $c$）的可逆性来表示。这对应于（在条件成立下）当 $c= 1/2$ 时发生在中分形情形中的数学（或许也是物理）“相变”。在此背景下，$\zeta = \zeta (s)$ 在右（resp., 左）临界带 $\{1/2 < \text{Re}(s) < 1 \}$（resp., $\{0 < \text{Re}(s) < 1/2 \}$）中的普适性与非普适性起着关键作用。这些新结果将在\S5 中呈现。在\S2 中，我们简要讨论了关于分形弦复维数的早期合作工作；而在\S3 和\S4 中，我们分别综述了作者与 H. Maier 以及与 H. Herichi 的早期相关工作，其中分别建立了黎曼猜想的对称判据，这些判据分别用 Minkowski 维度 $D \in (0,1)$ 且 $D \neq 1/2$ 的分形弦的一系列自然逆谱问题，以及谱算子族 $\mathfrak{a}_c$（其中 $c \in (0,1), c \neq 1/2$）的拟可逆性来表达。