黎曼 zeta 函数与纯谐波的宽带结构

设 $a\in (0,1)$，令 $F_s(a)$ 为周期化 zeta 函数，定义为对 $\Re s >1$ 有 $F_s(a) = \sum n^{-s} \exp (2\pi i na)$，并通过解析延拓扩展到复平面。令 $s_n = \sigma_n + it_n, \, t_n >0$ 表示上半平面内按纵坐标非递减排序的黎曼 zeta 函数非平凡零点序列。我们证明，在黎曼假设下，序列 $F_{s_n} (a)$ 的 Ces\`{a}ro 平均在周期分布意义下收敛于基波 $\exp (2\pi i a)$。这揭示了纯音的自然宽带结构。证明涉及 Fujii 对经典 Landau 定理的改进，该定理与 $\zeta$ 非平凡零点模 1 的均匀分布有关。