$p$-\text{affine}$ 双曲度测度的闵可夫斯基问题

对于 $p\in (-\infty,0)\cup(0,1)$ 和原点位于其内部的凸体 $K\subset\mathbb{R}^n$，本文构造 $p$-\text{affine}$双曲度测度族$\mathcal{I}_p(K,\cdot)$。文中给出的关于$K$的仿射不变测度$\widetilde{C}_{n-1}^{\mathrm{a}}(K, \cdot)$为$\mathcal{I}_p(K,\cdot)$当$p\rightarrow 1^-$时的极限情形。经典的锥体积测度为当$p\rightarrow 0$且$V(K)=2$时，仿射测度$2|p|\mathcal{I}_p(K,\cdot)/(n^2V(\mathrm{I}_pK))$的极限情形，其中$\mathrm{I}_pK$表示$K$的$L_p$交体。提出并研究$p$-\text{affine}$ 双曲度测度的闵可夫斯基问题。具体而言，给出偶数闵可夫斯基问题解的充分条件。当 $p\in(0,1)$ 时，给出必要条件。该闵可夫斯基问题的光滑情形等价于求解关于 $p$-\text{cosine}$ 变换的新型偏微分方程组。