$q$-扭转刚度的对偶 Minkowski 问题

Minkowski 扭转刚度问题（2-扭转刚度）最初由 Colesanti 和 Fimiani \cite{CA} 使用变分法研究。此外，Hu \cite{HJ00} 也通过曲率流方法研究了该问题，并得到了光滑偶解的存在性。另外，关于 $q$-扭转刚度的 Orlicz Minkowski 问题的光滑非偶解由 Zhao 等人 \cite{ZX} 通过 Gauss 曲率流给出。对偶曲率测度和对偶 Minkowski 问题最早由 Huang, Lutwak, Yang 和 Zhang 在 \cite{HY} 中提出并考虑。对偶 Minkowski 问题是一个非常重要的问题，它极大地推动了对偶 Brunn-Minkowski 理论的发展并扩展了其他类型的对偶 Minkowski 问题。据我们所知，关于 ($q$) 扭转刚度的对偶 Minkowski 问题仍然是开放的，因为对偶 ($q$) 扭转测度是空白的。因此，考虑关于 ($q$) 扭转刚度的对偶 Minkowski 问题是一个自然的问题。在本文中，我们引入了第 $p$ 个对偶 $q$-扭转测度，并提出了 $q>1$ 时关于 $q$-扭转刚度的第 $p$ 个对偶 Minkowski 问题。然后通过 Gauss 曲率流方法，我们确认了 $p<n$（$p\neq 0$）时该问题的光滑偶解的存在性。特别地，我们还获得了 $p<0$ 时该问题的光滑非偶解。