正则变函数、广义内容与分形弦的谱

我们重新审视刻画具有分形边界的有界开集 $\Omega\subset\mathbb{R}$ 上 Dirichlet-Laplacian 特征值分布的问题。由 Lapidus 与 Pomerance \cite{LapPo1} 的结果可知，特征值计数函数的渐近第二项可用 $\Omega$ 边界的 Minkowski 内容（若存在）来描述。He 与 Lapidus \cite{HeLap2} 讨论了将此刻画显著推广到边界未必 Minkowski 可测的集合 $\Omega$。他们采用了所谓的广义 Minkowski 内容，其由比通常幂函数更一般的规范函数给出。他们理论中有效规范函数的类别由若干技术条件刻画，这些条件的几何意义与必要性并不明显。因此，该方法的普适程度如何以及哪些集合 $\Omega$ 被覆盖尚不完全清楚。在此我们重新审视这些结果，并将其置于正则变函数的语境中。利用 Karamata 理论，可以摆脱大多数技术条件并简化 He 与 Lapidus 给出的证明，从而进一步彰显其结果的优美。由 \cite{RW13} 中获得的 Minkowski 内容刻画结果可带来进一步的简化。我们希望这种针对谱问题的新视角能引发对该优美理论的进一步研究。