将欧氏空间度量化为点云中期望的距离关系
计算几何
2024-08-23 v2 机器学习
摘要
给定欧氏空间 R^ℓ（ℓ>1）中的一组点，点间的成对距离由它们的空间位置以及我们赋予 R^ℓ 的度量 d 决定。因此，两点间距离 d(x,y)=δ 由 x、y 和 d 的选择固定。我们研究一个相关问题：固定值 δ 以及点 x、y，并询问是否存在一个拓扑度量 d 能计算出期望的距离 δ。我们通过构造一个度量来同时给出 R^ℓ 中至多 O(√ℓ) 个点的期望成对距离，从而证明该问题可解。随后我们引入 ε-半度量 d~ 的概念以表述主要结果：对所有 ε>0，所有 m≥1，任意选取 m 个点 y_1,…,y_m∈R^ℓ，以及所有选定值集合 {δ_{ij}≥0: 1≤i<j≤m}，存在一个 ε-半度量 δ~:R^ℓ×R^ℓ→R 使得 d~(y_i,y_j)=δ_{ij}，即无论欧氏或其他范数所诱导的拓扑如何，期望距离均得以实现。我们通过将结果用于攻击无监督学习算法，特别是 k-Means 与基于密度的（DBSCAN）聚类算法来展示其作用。这些在人工智能中有多种应用，若让它们以此处所示方式外部提供的距离度量运行，可使聚类算法产生预先确定因而可被操纵的结果。这表明除非有标准化且固定的规范来使用特定距离函数，聚类算法的结果一般而言可能不可信。
引用
@article{arxiv.2211.03674,
title = {Metricizing the Euclidean Space towards Desired Distance Relations in Point Clouds},
author = {Stefan Rass and Sandra König and Shahzad Ahmad and Maksim Goman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.03674},
year = {2024}
}