$\mathbb{R}^{3}$ 中 Marstrand 型限制投影定理

1954 年的 Marstrand 投影定理指出，如果 $K \subset \mathbb{R}^{3}$ 是一个解析集，那么对于 $\mathcal{H}^{2}$ 几乎所有的 $e \in S^{2}$，$K$ 到由 $e$ 张成的直线上的正交投影 $\pi_{e}(K)$ 的 Hausdorff 维数为 $\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。本文包含 Marstrand 定理的以下更锐版本。设 $V \subset \mathbb{R}^{3}$ 为任意非子空间的 $2$ 维平面。则对于 $\mathcal{H}^{1}$ 几乎所有的 $e \in S^{2} \cap V$，投影 $\pi_{e}(K)$ 的 Hausdorff 维数为 $\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。对于 $0 \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$，我们还证明了满足 $\dim_{\mathrm{H}} \rho_{e}(K) \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$ 的向量 $e \in S^{2} \cap V$ 的 Hausdorff 维数的上界。