关于 $\mathbb{R}^3$ 中受限投影族的研究

我们研究 $\mathbb{R}^{3}$ 中退化的直线和平面的一维族上的投影。利用 R. Kaufman 的经典势论方法，可以证明对于维数至多为 $1/2$ 的集合 $B \subset \mathbb{R}^{3}$，其 Hausdorff 维数在投影到直线的一维族下通常保持不变。我们将该结果改进了一个 $\varepsilon$，证明了如果 $\dim_{\mathrm{H}} B = s > 1/2$，则投影的 packing 维数以概率 1 至少为 $\sigma(s) > 1/2$。对于投影到平面的情况，我们获得了类似的下界，其中阈值 $1/2$ 被替换为 $1$。在没有旋转的自相似集 $K \subset \mathbb{R}^{3}$ 的特殊情况下，我们针对投影到直线的单参数族获得了完整的 Marstrand 型投影定理。该结果中 $\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$ 的情形可由 M. Hochman 近期的工作得出，但 $\dim_{\mathrm{H}} K > 1$ 的部分是新的：在此假设下，我们证明了投影几乎必然具有正长度。