平面集投影的 Assouad 维数

我们考虑平面集到直线的正交投影的 Assouad 维数。我们的研究涵盖一般集合和自相似集合。对于一般集合，主要结果如下：如果平面中的一个集合具有 Assouad 维数 $s \in [0,2]$，则其投影几乎必然具有至少为 $\min\{1,s\}$ 的 Assouad 维数。与 Hausdorff 维数的著名类比——即 \emph{Marstrand 投影定理}——相比，一个显著区别是“至少”一词不能省略：事实上，对于许多维数 $s < 1$ 的平面自相似集合，我们证明了投影的 Assouad 维数可以在正测度的方向集上取到 $s$ 和 $1$ 两个值。对于自相似集合，我们的研究自然分为两种情况：旋转群为离散的，以及旋转群为稠密的。在“离散旋转”情况下，我们对任意给定投影证明了以下二分法：要么在 Hausdorff 维数下 Hausdorff 测度为正，此时 Hausdorff 维数与 Assouad 维数一致；要么在 Hausdorff 维数下 Hausdorff 测度为零，此时 Assouad 维数等于 1。在“稠密旋转”情况下，我们证明如果平面集不是单点集，则每个投影的 Assouad 维数均等于 1。作为结果的另一应用，我们表明 Assouad 维数不存在 \emph{Falconer 定理}。更准确地说，当对平移向量进行随机化时，自相似（或自仿射）集合的 Assouad 维数通常不是几乎必然为常数的。