测度的下 Assouad 维数与正则性

类比于集合的下 Assouad 维数，我们研究测度的下 Assouad 维数。与上端 Assouad 维数一样，测度的下 Assouad 维数提供关于测度极端局部行为的信息。我们研究其与其他维数及正则性性质的联系。特别地，拟下 Assouad 维数受测度下局部维数下确界的支配。尽管一般而言严格不等式可能成立，但对于有限型自相似测度类等式成立。该类包含所有满足开集条件的自相似、等缩测度，以及某些“重叠”自相似测度，如收缩因子为 Pisot 数之逆的 Bernoulli 卷积。我们给出由 Moran 构造产生的测度的下 Assouad 维数下界，证明自仿射测度是一致完美的且具有正下 Assouad 维数，证明测度的 Assouad 谱收敛于其拟 Assouad 维数，并表明测度的上、下 Assouad 维数重合并不蕴含该测度是 $s$-正则的。