乘积空间上低复杂度 Gibbs 测度的结构

设 $K_1$, $\dots$, $K_n$ 为有界、完备、可分的度量空间。对每个 $i$，设 $\lambda_i$ 为 $K_i$ 上的 Borel 概率测度。设 $f:\prod_i K_i \to \mathbb{R}$ 为有界连续势函数，并设 $$\mu(d \mathbf{x})\ \propto\ e^{f(\mathbf{x})}\lambda_1(d x_1)\cdots \lambda_n(d x_n)$$ 为相应的 Gibbs 分布。在每一点 $\mathbf{x} \in \prod_i K_i$ 处，可通过比较 $f$ 在所有与 $\mathbf{x}$ 至多一个坐标不同的点处的值来定义“离散梯度” $\nabla f(\mathbf{x},\,\cdot\,)$。在 $\prod_i K_i = \{-1,1\}^n \subset \mathbb{R}^n$ 的情形下，离散梯度 $\nabla f(\mathbf{x},\,\cdot\,)$ 自然等同于 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量。本文表明，对 $\nabla f$ 的一个“低复杂度”假设意味着 $\mu$ 可被相对较少数量的其他测度的混合所逼近，且其中大多数在最优传输意义下接近乘积测度。这也意味着沿 Chatterjee 与 Dembo 的“非线性大偏差”理论思路，可用乘积测度逼近 $f$ 的配分函数。此项工作的一个重要先例是 Eldan 在 $\prod_i K_i = \{-1,1\}^n$ 情形下的结果。Eldan 的假设是离散梯度 $\nabla f(\mathbf{x},\,\cdot\,)$ 全部位于 $\mathbb{R}^n$ 中具有较小高斯宽度的子集中。他的证明基于在 $\mathbb{R}^n$ 中精心构造一个从原点出发、并最终在子集 $\{-1,1\}^n$ 上以所需分布结束的扩散过程。此处我们的假设是对梯度集合 $\{\nabla f(\mathbf{x},\,\cdot\,):\ \mathbf{x} \in \prod_i K_i\}$ 更朴素的覆盖数界，且我们的证明仅依赖于信息论的基本不等式。因此，该证明更简短，并适用于任意乘积空间上的 Gibbs 测度。